Der Jugendnationalspieler stand 1978 bis 1980
beim Hamburger SV unter Vertrag. In der damaligen Startruppe (
Manfred
Kaltz, Ditmar Jakobs, Kevin Keegan,
Felix
Magath,
Horst Hrubesch) von
Trainer Branko Zebec allerdings in seinen beiden Spielzeiten nur
zwei Chance zu einem Bundesligaeinsatz.
1980 wurde Uwe Beginski zu Darmstadt 98 transferiert. Dort eroberte
sich der Abwehrspieler in der Mannschaft von Trainer Werner Olk
einen Stammplatz und war als Defensiv-Allrounder am Aufstieg in
die Bundesliga maßgeblich beteiligt.
1982/83 wurde Beginski nach einem halben Jahr aus
Kostengründen an den VfL Osnabrück in die 2. Bundesliga
ausgeliehen, wo er die Abwehr der stabilisieren sollte. Dort wurde
er in allen 17 Spielen der Rückrunde eingesetzt.